关于线性变换与矩阵表示的讨论

       居士认为，在矩阵代数的研究中，空间的基是一个重要非常的概念。当一个空间引入了基之后，这个空间的很多基本信息就可以从对基的讨论中推断出来。基的存在，不仅让对空间的研究更加容易，对空间之间关系的研究也因此清晰起来。

       空间之间的关系，主要是用映射来体现的。因此空间之间的线性关系，就是用线性映射来体现的。而最基础的线性映射，就是对加法和数乘封闭的映射了。一般而言，对空间A的映射我们用δ(A)来表示，因此A中的元素a的映射就用δ(a)来表示了。因此就拥有以下两个性质：δ(a+b)=δ(a)+δ(b)和δ(ma)=mδ(a)（其中m为一个常数）。

       当空间之间拥有某一线性映射关系且空间里面的元素一一对应的时候，这样的线性映射就称为同构映射。

       而线性变换，是一个更加严格的同构映射，它要求将S空间直接映射到S空间里面。

       而矩阵表示，就是仅在线性变换下成立的一个概念。

       假设线性空间S有两个基，分别为X和Y，又令S在这两个基下对应矩阵分别为A和B，又知道X和Y线性表示的矩阵为T（即Y=XT），因此就有TB=AT。

       对此的证明非常容易：由于YB=δ(Y)=MY=M(XT)=(MX)T=δ(X)T=XAT，其中M为映射矩阵，即δ(X)=MX=XA、δ(Y)=MY=YB。

       而X到Y的矩阵表示即为N，使得δ(X)=YN。

       在这里，最容易混淆的，是“对应的矩阵”、“线性表示的矩阵”和“矩阵表示”两个概念，所谓“对应的矩阵”分别为A和B；“线性表示的矩阵”为T，T直观体现了两组基之间的线性关系；而“矩阵表示”为N，体现的是一个基下的映射和另一个基的关系。

文章来自: 星光居士的工作室
引用通告: 查看所有引用 | 我要引用此文章
Tags: 映射 空间 线性变换 矩阵表示
相关日志: